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Voici le détail du calcul :

Ce qui est délicat, c’est le calcul de :

G = ò 0<Dxf(x)dx, avec f(x) = s -1 (2p)- 1/2 exp{ - (1/2)[(x – m)/s]2}

Il faut calculer l’intégrale depuis -¥ , l’origine zéro dans l’intégrale ci-dessus traduisant simplement le fait que m est beaucoup plus grand que

Il faut calculer l’intégrale depuis -¥ , l’origine zéro dans l’intégrale ci-dessus traduisant simplement le fait que m est beaucoup plus grand que s.

On calcule donc :

G = ò -¥ <Dxf(x)dx

Posons (x – m)/

On calcule donc :

G = ò -¥ <Dxf(x)dx

Posons (x – m)/s = U

On trouve

G = ò -¥ <(D-m)/s(m+sU) (2p)- 1/2 exp (-U2/2) dU

G = mF(D) + H, avec :

H = s (2p)- 1/2 ò -¥ <(D-m)/s U exp (-U2/2) dU

Pour calculer H, il est bien naturel de procéder au changement de variable z = U2/2. Cependant, comme cette relation n’est pas monotone sur l’intervalle d’intégration, il faut y mettre un peu de soin. L’intégrale sur ]-¥ , (D-m)/

Pour calculer H, il est bien naturel de procéder au changement de variable z = U2/2. Cependant, comme cette relation n’est pas monotone sur l’intervalle d’intégration, il faut y mettre un peu de soin. L’intégrale sur ]-¥ , (D-m)/s] est égale à l’intégrale sur ]-¥ , +¥ [ plus l’intégrale sur ]+¥ , (D-m)/s]. L’intégrale sur ]-¥ , +¥ [ est nulle. Donc le second terme du membre de droite est égal à :

H = - s (2p)- 1/2 ò (D-m)/s< + ¥ U exp (-U2/2) dU

H = - s (2p)- 1/2 exp{ - (1/2)[(D – m)/s]2}

H = - s2 f(D)

Et donc

G = mF(D) - s2 f(D)

cqfd