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Annexe

2 février 2002

A chaque instant, l’utilité de l’entreprise est :

(1) Ut = (Ltπt)ξ = (L0eτ tπt)ξ.

Il faut que l’entreprise arbitre entre les utilités à divers instants. L’efficacité W qu’il s’agit de maximiser sur l’intervalle de temps (t0, t1) peut s’écrire, en posant t0 = 0 :

(2) W = L0ξ eξ r) tπtξ dt, l'intégrale étant calculée sur l'intervalle (t0, t1).

Si le temps t1 est fini, nous devons imposer un niveau minimum d’informatisation pour permettre à l’entreprise de fonctionner au delà de t1 :

(3) s(t1) s1.

Si t1 est infini, le problème est de choisir le sentier π(t) de sorte que :

Max eξ r) tπtξ dt, l'intégrale étant calculée de t0 jusqu'à l'infini,

ds/dt = [f(s) - w - π]/b - λs, avec λ = a/b + δ + τ,

s(t0) = s0

0 π f(s) - as - w 

π(t) continue par morceaux.

La solution est le sentier optimal de profit π*, dont on déduit le sentier optimal du taux d’informatisation s*, les deux sentiers étant définis pour toutes les valeurs de t t0.

L’Hamiltonien est :

(4) H = eξ r) t{U(π) + q{[f(s) - w - π]/b - λs }}

où q est la variable duale.

Pour obtenir un maximum intérieur, il faut que :

(5) q = U’(π)

L’équation canonique pour la variable duale est :

(6) d[(eξ r) tq(t)]/dt = - H/s

Ce qui implique :

(7) f’(s)/b + q’/q – (λ + r - τξ ) = 0

Si nous différencions q(t) = U’[π (t)] le long du sentier optimal, nous obtenons :

(8) q’/q = -s(π) π’/π

On peut donc écrire l’équation canonique de la variable duale sous la forme d’une équation différentielle selon la variable de contrôle :

(9) π’ = [f’(s)/b – (λ + r - τξ)] [π/σ(π)]

(10) s’ = [f(s) - w - π]/b - λs

Ignorons la condition relative au taux initial d’informatisation. Alors il est possible de rechercher la solution pour laquelle le profit par personne et le taux d’informatisation restent constants.

Si le profit par personne est constant, π’ = 0 et donc s = s* tel que :

(11) f’(s*)/b = λ + r - τξ

soit :

(12) f’(s*) = a + b[δ +  r + τ(1 - ξ)], d’où si f(s) = sμ :

(13) s* = {µ/[a + b(r + δ + τ(1 – ξ))]}1/(1 - µ)